470-4201 – Aplikovaná algebra (AA)

Cílem předmětu je seznámit studenty s kapitolami lineární a multilineární algebry s jejich aplikacemi v moderních iformačních technologiích. Absolvent se bude orientovat v matematickém aparátu, na jehož základě pracují vyhledávače, některé metody umělé inteligence, analýzy obrazu atd.

1. Vektorový prostor (definice, příklady – matematické: Rn, Cn, funkce na čtverci a krychli, vlastnosti odvozené z axiomů, podprostory, závislost, báze podprostorů, souřadnice, změna báze a matice transformace). Hierarchické báze. 2. Ortogonalita v Rn (reálný skalární součin, příklady, SPD matice, Schwarzova nerovnost, velikost a úhel dvou vektorů, definice, příklady, ortogonální a ortonormální báze, Schmidtův proces, výpočet souřadnic, ortogonální matice). Aplikace: metoda sdružených směrů, aproximace v podprostoru I. 3. Ortogonalita v Cn (komplexní čísla a jejich representace, komplexní vektorové prostory, komplexní exponenciální funkce, exponenciální báze, výpočet souřadnic, unitární matice a unitární transformace, Parsevalova a Plancherelova rovnost) 4. Fourierova transformace a FFT (Fourierova báze, maticová representace, Fourierova transformace, vlastnosti, rychlý výpočet souřadnic – FFT, Haarovy wavelety) Aplikace: Identifikace hran, komprese obrazu. 5. Lineární zobrazení (definice, příklady, hodnost a defekt, matice zobrazení, změna matice při změně báze, řešitelnost soustav, inverzní a zobecněná inverzní matice) 6. Bilineární a kvadratické formy (definice, příklady, variační princip) Aplikace: Metoda nejmenších čtverců II, řešení nekonzistentních soustav, podmíněné extrémy 7. Vlastní čísla a vektory (definice, příklady, charakteristický polynom, determinant, stopa, Geršgorinova věta, důsledky). 8. Schurův rozklad a spektrální rozklad, odvození, maticový kalkul, příklady. 9. Stochastické matice, markovovské procesy 10. Page Rank, vlastní vektory a Google. 11. SVD a polární rozklad (odvození, zkrácený rozklad, geometrický význam). Důsledky a aplikace: Moore-Penroseova pseudoinverze, efektivní aproximace velkých matic, matematika image deblurring. 12. Optimalizace – QP, konvexita, KKT pro nerovnostní omezení, dualita pro konvexní úlohy QP. Příklad: Image registration, image deblurring. 13. SVM (opakování analytické geometrie, formulace, řešení s využitím duality) 14. Tensory a jejich representace. Aplikace: využití dodatečné informace pro čtení psaného textu

Zdenek Dostál, Lineární algebra, VŠB Ostrava 2000

Milan Hladík, Lineární algebra(nejen)pro informatiky, MFF UK 2019 (pdf na https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/LA/text_la_upd.pdf) Luboš Motl, Miloš Zahradník : Pěstujeme lineární algebru. MFF UK 2011 (http://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html)