310-3243/01 – Aplikovaná matematika (AM)
| Garantující katedra | Katedra matematiky a deskriptivní geometrie | Kredity | 6 |
| Garant předmětu | RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D. | Garant verze předmětu | RNDr. Martin Swaczyna, Ph.D. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinný |
| Ročník | 1 | Semestr | zimní |
| | Jazyk výuky | čeština |
| Rok zavedení | 2023/2024 | Rok zrušení | |
| Určeno pro fakulty | FMT | Určeno pro typy studia | navazující magisterské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení počátečních a okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice
- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení počátečních a okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice
Vyučovací metody
Přednášky
Cvičení (v učebně)
Anotace
Aplikovaná matematika je odvětví matematiky zabývající se studiem těch oblastí matematiky, které se používají jako vhodný nástroj v nějakém nematematickém oboru. Rozvíjí matematické metody používané mimo samotnou matematiku, upřesňuje způsob, kterým je takové metody možné použít, a ručí za správnost jimi dosažených výsledků.
Matematické modelování vychází z určení základních měřitelných veličin, které charakterizují určitou situaci, proces nebo jev. Takovými veličinami může být teplota a tepelný tok, posunutí bodů při zatížení tělesa a síly působící na jeho části, rychlost pohybu apod. Tyto veličiny a vztahy mezi těmito veličinami vytvářejí matematický model. Základním matematickým nástrojem pro modelování jevů a procesů ve fyzice, v chemii, v biologii, v technických vědách a v mnoha dalších oblastech jsou diferenciální rovnice.
Seznámíme se s některými analytickými a některými numerickými metodami řešení vybraných diferenciálních rovnic a vybraných počátečních a okrajových úloh pro tyto rovnice.
Povinná literatura:
Doporučená literatura:
JENSON, Victor George a Godfrey Vaughan JEFFREYS. Matematické metódy v chemickom inžinierstve. Bratislava: Alfa, c1973.
KUBÍČEK, Milan. Numerické algoritmy řešení chemickoinženýrských úloh. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1983.
KVASNICA, Jozef. Matematický aparát fyziky. Praha: Academia, 1989.
ISBN 80-200-0088-7.
MUSILOVÁ, Pavla, MUSILOVÁ, Jana, Matematika II/1 pro porozumění a praxi, VUTIUM, Brno, 2012,
ISBN 978-80-214-4071-5 (kapitola 7: Obyčejné diferenciální rovnice)
REKTORYS, Karel. Co je a k čemu je vyšší matematika. Academia, Praha, 2001.
PLCH, Roman: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno, 1995
ZILL, Dennis G.: A First Course in Differential Equations with Applications.
LUDVÍK, Pavel, MORÁVKOVÁ, Zuzana. Numerická matematika. Rešené příklady s Matlabem a aplikované úlohy. VŠB-TU, Ostrava, 2016.
ISBN 978-80-248-3892-2
FRANCŮ, J. Parciální diferenciální rovnice. Akademické nakladatelství CERM, Brno 2003.
ISBN 80-214-2334-X
DRÁBEK, Pavel, HOLUBOVÁ, Gabriela. Parciální diferenciální rovnice. 2011 https://mi21.vsb.cz/modul/parcialni-diferencialni-rovnice
ŠKRÁŠEK, Josef a Zdeněk TICHÝ. Základy aplikované matematiky II: integrální počet, nekonečné řady, diferenciální geometrie, obyčejné a
parciální diferenciální rovnice, funkce komplexní proměnné, Laplaceova transformace, diferenční rovnice. Praha: SNTL - Nakladatelství
technické literatury, 1986.
REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky II. 6. přeprac. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ISBN 80-85849-62-3.
Další studijní materiály
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
- aktivní zapojení při řešení úloh na cvičení, řešení průběžně zadávaných domácích úloh
- absolvovat 2 kontrolní písemky
Pro zájemce: vyřešení seminární úlohy.
K zápočtu je potřeba získat alespoň 20 bodů (ze 40)
E-learning
Další požadavky na studenta
- aktivní zapojení při řešení úloh na cvičení, řešení průběžně zadávaných domácích úloh
- absolvovat 2 kontrolní písemky (po 20 bodech)
K zápočtu je potřeba získat alespoň 20 bodů (ze 40)
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
1. Úvod do předmětu. Modelování. Fyzické a abstraktní modely. Matematické modelování, výpočtová matematika. Chyby v matematických modelech. Metody verifikace modelů. Apriorní a aposteriorní odhad chyb. Využití matematických modelů v praxi.
2. Základní matematický aparát: Souřadnicové systémy v rovině a v prostoru, transformace souřadnic. Skaláry, vektory, kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic, symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základy vektorové analýzy a teorie pole: skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, potenciálové vektorové pole, skalární potenciál vektorového pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, vektorová pole zřídlová a nezřídlová, vírová a nevírová, souvislost nevírového pole s polem potenciálovým, operátory 2. řádu.
4. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): Vymezení pojmu obyčejné diferenciální rovnice a jejich klasifikace, řád diferenciální rovnice. Příklady diferenciálních rovnic různého typu. Základní pojmy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic, formulace Cauchyho počáteční úlohy pro ODR 1. řádu, věta o existence a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, řešení počáteční úlohy pro ODR 1. řádu pomocí Piccardových aproximací.
5. Geometrická interpretace ODR 1. řádu: směrové pole, izokliny, integrální křivky. Základní typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice, lineární rovnice, Bernoulliho rovnice.
6. Další typy ODR 1. řádu a analytické metody jejich řešení: Ricattiova rovnice, exaktní diferenciální rovnice, diferenciální rovnice reducibilní na exaktní, integrační faktor.
7. Numerické metody řešení ODR – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Metody typu Runge-Kutta. Metody typu prediktor-korektor.
8. Analytické řešení ODR n-tého řádu: Lineární ODR n-tého řádu s konstantními koeficienty, řešení zkrácené rovnice (s nulovou pravou stranou), charakteristická rovnice, fundamentální řešení, řešení úplné ODR pomocí metody neurčitých koeficientů a pomocí metody variace konstant.
9. Soustavy ODR: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty - maticový zápis, fundamentální systém řešení, eliminační metoda. Eulerova metoda řešení soustav LDR. Metoda variace konstant.
10. Formulace počáteční úlohy pro diferenciální ODR n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Okrajové úlohy pro ODR: formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky: Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka.
11. Parciální diferenciální rovnice (PDR). Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic: lineární, semilineární, kvazilineární a nelineární. Základní otázky teorie PDR: existence a jednoznačnost řešení, stabilita a regularita řešení, metoda výpočtu řešení, pojem klasického a zobecněného řešení PDR, pojem obecného řešení, srovnání obecné řešení v případě ODR a v jednoduchých případech PDR.
12. Počáteční a okrajové úlohy pro PDR. Cauchyho počáteční problémy pro PDR, Zobecněné Cauchyho problémy pro PDR. Okrajové úlohy pro PDR, jejich formulace. Příklady počátečních a okrajových úloh. Smíšené nebo-li počáteční okrajové úlohy pro PDR. Existence a jednoznačnost řešení Cauchyho počátečních úloh, věta Cauchyho-Kovalevské.
13. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace, rovnice eliptické, hyperbolické, parabolické. Typy okrajových podmínek pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).
Podmínky absolvování předmětu
Podmínky absolvování jsou definovány pouze pro konkrétní verzi předmětu a formu studia
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky