470-2302/01 – Teorie čísel (TC)
| Garantující katedra | Katedra aplikované matematiky | Kredity | 4 |
| Garant předmětu | RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. | Garant verze předmětu | RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | volitelný odborný |
| Ročník | 3 | Semestr | letní |
| | Jazyk výuky | čeština |
| Rok zavedení | 2012/2013 | Rok zrušení | |
| Určeno pro fakulty | FEI | Určeno pro typy studia | bakalářské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Po absolvování kursu student bude znát vybrané definice základních pojmů elementární teorie čísel a vztahy mezi nimi, bude chápat jejich význam, a bude umět využít své znalosti k řešení základních úloh teorie čísel. Bude také chápat význam těchto pojmů pro řešení vybraných aplikačních úloh – testování prvočíselnosti a šifrování RSA algoritmem.
Vyučovací metody
Přednášky
Cvičení (v učebně)
Anotace
S aplikacemi výsledků teorie čísel se se setkáváme denně, možná aniž bychom to tušili. Jde o nejrůznější systémy identifikačních čísel, například na poštovních složenkách (USPS - The United States Postal Service), na čárových kódech (UPC - Universal Product Codes), nebo knížkách (ISBN - International Standard Book Number).
Dále se výsledky teorie čísel používají pro generování náhodných čísel. Ty se dále uplatňují v nejrůznějších oblastech. Kromě statistiky nalezly své místo dokonce i v teoretické fyzice - v částicových simulacích. Asi nejvýznamnější aplikace má dnes teorie čísel v šifrování, jsou na ní založeny šifrovací metody dnešní technikou prakticky neprolomitelné, přesto jednoduše aplikovatelné v praxi.
V předmětu Elementární teorie čísel mají studenti možnost získat základní znalosti matematického aparátu, který stojí za výše uvedenými aplikacemi. Mohou tak porozumět, jak tyto aplikace v praxi fungují.
Povinná literatura:
Není vyžadována žádná povinná literatura.
Doporučená literatura:
KOLIBIAR M., LEGÉŇ A., ŠALÁT T., ZNÁM Š.: Algebra a príbuzné disciplíny, Bratislava, Alfa, 1992.
Jahoda, P. Základy teorie čísel a jejích aplikací pro nematematiky, elektronická verze http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-teorie-cisel-jejich-aplikaci-pro-nematematiky
ŠALÁT T. A KOL. Algebra a teoretická aritmetika 2, Alfa, Bratislava, 1986.
ZNÁM, Š. Teória čísel, Alfa, Bratislava, 1977.
APOSTOL T.M.: Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.
HARDY G.H., WRIGHT E.M.: An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford, Clarendon press, 1954.
J.E. POMMERSHEIM, T.K. MARKS, E.L. FLAPAN, Number theory, USA: Wiley, 2010.
Další studijní materiály
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Průběžná kontrola studia:
Studenti v průběhu semestru budou psát písemné testy. Za testy lze získat maximálně
30 bodů.
Podmínky udělení zápočtu:
K získání zápočtu je nutné získat minimálně 15 bodů.
E-learning
Základní materiály jsou dostupné na webu pedagoga: www.fei.vsb.cz/470/cs/osobni-stranky/jahoda/teorieCisel/
Další požadavky na studenta
Žádné další požadavky na studenta nejsou kladeny.
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Přednášky:
Dělitelnost na N a Z, největší společný dělitel, Euklidův algoritmus
Kanonický rozklad
Množina prvočísel – základní poznatky o rozložení na číselné ose
Prvočíselná funkce, Čebyševovy nerovnosti, prvočíselná věta a Bertrandův postulát
Asymptotická hustota množiny
Relace kongruence na Z
Lineární kongruence
Operace na Zn
Eulerova funkce
Fermatova – Eulerova věta
Miller-Rabinův test prvočíselnosti
RSA algoritmus
Cvičení:
Procvičování vlastností dělitelnosti na N a Z a Euklidova algoritmu
Souvislost kanonického rozkladu s největším společným dělitelem a nejmenším společným násobkem
Výskyt prvočísel v aritmetických posloupnostech a g-adické zápisy čísel
Eratosthenovo síto
Určování asymptotických hustot množin, asymptotická hustota množiny prvočísel
Vlastnosti relace kongruence
Řešení lineárních kongruencí
Těleso Zp, Wilsonova věta
Určení hodnoty Eulerovy funkce
Příklady na Fermatův test prvočíselnosti a Carmichaelovy čísla
Příklady na Miller-Rabinův test prvočíselnosti
Procvičování RSA algoritmu
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky