470-4111/02 – Úvod do funkcionální analýzy (ÚFA)
| Garantující katedra | Katedra aplikované matematiky | Kredity | 6 |
| Garant předmětu | prof. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D. | Garant verze předmětu | prof. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinný |
| Ročník | 1 | Semestr | zimní |
| | Jazyk výuky | angličtina |
| Rok zavedení | 2015/2016 | Rok zrušení | |
| Určeno pro fakulty | FEI | Určeno pro typy studia | navazující magisterské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Cílem je seznámit studenty se základy funkcionální analýzy; schopnost orientovat se v této (poměrně teoretické) diciplíně je nezbytným předpokladem úspěchu
při řešení celé řady technických problémů.
Vyučovací metody
Přednášky
Cvičení (v učebně)
Anotace
V průběhu tohoto předmětu se posluchači seznámí
se základními pojmy funkcionální analýzy, disciplíny, která v sobě sjednocuje
výsledky a metody řady klasicikých matematických disciplín (algebry, geometrie,
analýzy), nachází a zvýrazňuje jejich společné rysy a dále je zobecňuje.
Funkcionální analýza proniká do nejrůznějších odvětví matematiky a jejich
aplikací a vytváří matematický aparát umožňující formulovat (a také řešit) i
velmi složité problémy praxe. Výklad abstraktních pojmů bude doprovázen
konkrétními příklady a aplikacemi.
Povinná literatura:
J. Bouchala: Úvod do funkcionální analýzy, http://www.am.vsb.cz/bouchala.
Doporučená literatura:
P. Drábek, A. Kufner: Úvod do funkcionální analýzy, ZČU Plzeň, 1993.
P. Drábek, A. Kufner: Funkcionální analýza, ZČU Plzeň, 1994.
J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, Karolinum, Praha, 1998.
L. Mišík: Funcionálna analýza, Alfa, Bratislava, 1989.
A. E. Taylor: Úvod do funkcionální analýzy, Academia, Praha, 1973.
Další studijní materiály
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Podmínky udělení zápočtu:
Aktivní účast na cvičeních. Vyřešení zadaných problémů.
E-learning
Další požadavky na studenta
Žádné další požadavky na studenta nejsou kladeny.
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Přednášky:
Metrický prostor.
Úplný metrický prostor.
Banachova věta o pevném bodě.
Banachův prostor.
Lineární funkcionály.
Slabá konvergence.
Hilbertův prostor.
Rieszova věta o reprezentaci.
Operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.
Gateauxův diferenciál a derivace.
Fréchetův diferenciál a derivace.
Extrémy a kritické body funkcionálů.
Cvičení:
Opakování vektorových prostorů.
Příklady metrických prostorů.
Vyšetřování konvergence posloupností v metrických prostorech.
Cauchyovské posloupnosti v úplných a v neúplných metrických prostorech.
Banachova věta o pevném bodě - její aplikace při řešení různých problémů.
Příklady Banachových prostorů. Prostory funkcí.
Lineární funkcionály a jejich spojitost, vliv dimenze prostoru.
Vztah slabé a silné konvergence.
Skalární součiny. Hilbertův prostor. Fourierovy řady.
Rieszova věta o reprezentaci - přiklad její užitečnosti.
Operátory v Banachových a Hilbertových prostorech.
Derivace funkcionálů a operátorů obecně.
Vzájemný vztah Fréchetovy a Gateauxovy derivace.
Extrémy a kritické body funkcionálů.
Projekty:
1. Topologické a metrické prostory.
2. Lineární operátory.
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky