470-4201/01 – Aplikovaná algebra (AA)

Garantující katedraKatedra aplikované matematikyKredity4
Garant předmětuprof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.Garant verze předmětuprof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.
Úroveň studiapregraduální nebo graduálníPovinnostvolitelný odborný
Ročník1Semestrletní
Jazyk výukyčeština
Rok zavedení2015/2016Rok zrušení
Určeno pro fakultyFEIUrčeno pro typy studianavazující magisterské
Výuku zajišťuje
Os. čís.JménoCvičícíPřednášející
DOS35 prof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.
VLA04 Ing. Oldřich Vlach, Ph.D.
Rozsah výuky pro formy studia
Forma studiaZp.zak.Rozsah
prezenční Zápočet a zkouška 2+2
kombinovaná Zápočet a zkouška 10+10

Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi

Cílem předmětu je seznámit studenty s kapitolami lineární a multilineární algebry s jejich aplikacemi v moderních iformačních technologiích. Absolvent se bude orientovat v matematickém aparátu, na jehož základě pracují vyhledávače, některé metody umělé inteligence, analýzy obrazu atd.

Vyučovací metody

Přednášky
Cvičení (v učebně)

Anotace

1. Vektorový prostor (definice, příklady – matematické: Rn, Cn, funkce na čtverci a krychli, vlastnosti odvozené z axiomů, podprostory, závislost, báze podprostorů, souřadnice, změna báze a matice transformace). Hierarchické báze. 2. Ortogonalita v Rn (reálný skalární součin, příklady, SPD matice, Schwarzova nerovnost, velikost a úhel dvou vektorů, definice, příklady, ortogonální a ortonormální báze, Schmidtův proces, výpočet souřadnic, ortogonální matice). Aplikace: metoda sdružených směrů, aproximace v podprostoru I. 3. Ortogonalita v Cn (komplexní čísla a jejich representace, komplexní vektorové prostory, komplexní exponenciální funkce, exponenciální báze, výpočet souřadnic, unitární matice a unitární transformace, Parsevalova a Plancherelova rovnost) 4. Fourierova transformace a FFT (Fourierova báze, maticová representace, Fourierova transformace, vlastnosti, rychlý výpočet souřadnic – FFT, Haarovy wavelety) Aplikace: Identifikace hran, komprese obrazu. 5. Lineární zobrazení (definice, příklady, hodnost a defekt, matice zobrazení, změna matice při změně báze, řešitelnost soustav, inverzní a zobecněná inverzní matice) 6. Bilineární a kvadratické formy (definice, příklady, variační princip) Aplikace: Metoda nejmenších čtverců II, řešení nekonzistentních soustav, podmíněné extrémy 7. Vlastní čísla a vektory (definice, příklady, charakteristický polynom, determinant, stopa, Geršgorinova věta, důsledky). 8. Schurův rozklad a spektrální rozklad, odvození, maticový kalkul, příklady. 9. Stochastické matice, markovovské procesy 10. Page Rank, vlastní vektory a Google. 11. SVD a polární rozklad (odvození, zkrácený rozklad, geometrický význam). Důsledky a aplikace: Moore-Penroseova pseudoinverze, efektivní aproximace velkých matic, matematika image deblurring. 12. Optimalizace – QP, konvexita, KKT pro nerovnostní omezení, dualita pro konvexní úlohy QP. Příklad: Image registration, image deblurring. 13. SVM (opakování analytické geometrie, formulace, řešení s využitím duality) 14. Tensory a jejich representace. Aplikace: využití dodatečné informace pro čtení psaného textu

Povinná literatura:

Zdenek Dostál, Lineární algebra, VŠB Ostrava 2000

Doporučená literatura:

Milan Hladík, Lineární algebra(nejen)pro informatiky, MFF UK 2019 (pdf na https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/LA/text_la_upd.pdf) Luboš Motl, Miloš Zahradník : Pěstujeme lineární algebru. MFF UK 2011 (http://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html)

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

Dva kontrolní testy ve cvičení.

E-learning

Další požadavky na studenta

Žádné další požadavky na studenta nejsou kladeny

Prerekvizity

Předmět nemá žádné prerekvizity.

Korekvizity

Předmět nemá žádné korekvizity.

Osnova předmětu

Přednášky: • Úvod do maticových rozkladů s příklady aplikací • Spektrální rozklad symetrické matice • Aplikace spektrálního rozkladu: maticové funkce, vysvětlení konvergence iteračních metod, extremální vlastnosti vlastních čísel • QR rozklad - praktické určení hodnosti matice, stabilní řešení soustavy rovnic, zrcadlení • SVD – aproximace maticí dané hodnosti, aproximace velkých matic součinem, princip image deblurring, image compression • Přibližné rozklady velkých matic a související lineární algebra • Tensorové aproximace - Kroneckerův součin, obecné tensory, tensorový SVD, tensor train, aplikace na image debluring • Variační princip a metoda nejmenších čtverců • Metoda úplných nejmenších čtverců • Minimalizace kvadratické fumkce s omezením – KKT, dualita, základní algoritmy, formulace SVM, základní algoritmus pro nezáporný rozklad (aplikace v data clustering) • Analytická geometrie s využitím maticových rozkladů • Základy řešení inverzních problémů – Tichonovská regularizace, aplikace Cvičení: Cvičení budou tématicky shodná s přednáškami a budou zaměřena na získání praktických zkušeností z aplikované algebry.

Podmínky absolvování předmětu

Prezenční forma (platnost od: 2015/2016 zimní semestr)
Název úlohyTyp úlohyMax. počet bodů
(akt. za podúlohy)
Min. počet bodů
Zápočet a zkouška Zápočet a zkouška 100 (100) 51
        Zápočet Zápočet 30  15
        Zkouška Zkouška 70  21
Rozsah povinné účasti:

Zobrazit historii

Výskyt ve studijních plánech

Akademický rokProgramObor/spec.Spec.ZaměřeníFormaJazyk výuky Konz. stř.RočníkZLTyp povinnosti
2021/2022 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2021/2022 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2020/2021 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2020/2021 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2019/2020 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2019/2020 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2018/2019 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2018/2019 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2017/2018 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2017/2018 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2016/2017 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2016/2017 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2015/2016 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2015/2016 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K čeština Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán

Výskyt ve speciálních blocích

Název blokuAkademický rokForma studiaJazyk výuky RočníkZLTyp blokuVlastník bloku