470-4201/02 – Aplikovaná algebra (AA)

Garantující katedraKatedra aplikované matematikyKredity4
Garant předmětuprof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.Garant verze předmětuprof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc.
Úroveň studiapregraduální nebo graduálníPovinnostvolitelný odborný
Ročník1Semestrletní
Jazyk výukyangličtina
Rok zavedení2015/2016Rok zrušení
Určeno pro fakultyFEIUrčeno pro typy studianavazující magisterské
Výuku zajišťuje
Os. čís.JménoCvičícíPřednášející
VLA04 Ing. Oldřich Vlach, Ph.D.
Rozsah výuky pro formy studia
Forma studiaZp.zak.Rozsah
prezenční Zápočet a zkouška 2+2
kombinovaná Zápočet a zkouška 10+10

Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi

Cílem předmětu je seznámit studenty s kapitolami lineární a multilineární algebry s jejich aplikacemi v moderních iformačních technologiích. Absolvent se bude orientovat v matematickém aparátu, na jehož základě pracují vyhledávače, některé metody umělé inteligence, analýzy obrazu atd.

Vyučovací metody

Přednášky
Cvičení (v učebně)

Anotace

1. Vektorový prostor (definice, příklady – matematické: Rn, Cn, funkce na čtverci a krychli, vlastnosti odvozené z axiomů, podprostory, závislost, báze podprostorů, souřadnice, změna báze a matice transformace). Hierarchické báze. 2. Ortogonalita v Rn (reálný skalární součin, příklady, SPD matice, Schwarzova nerovnost, velikost a úhel dvou vektorů, definice, příklady, ortogonální a ortonormální báze, Schmidtův proces, výpočet souřadnic, ortogonální matice). Aplikace: metoda sdružených směrů, aproximace v podprostoru I. 3. Ortogonalita v Cn (komplexní čísla a jejich representace, komplexní vektorové prostory, komplexní exponenciální funkce, exponenciální báze, výpočet souřadnic, unitární matice a unitární transformace, Parsevalova a Plancherelova rovnost) 4. Fourierova transformace a FFT (Fourierova báze, maticová representace, Fourierova transformace, vlastnosti, rychlý výpočet souřadnic – FFT, Haarovy wavelety) Aplikace: Identifikace hran, komprese obrazu. 5. Lineární zobrazení (definice, příklady, hodnost a defekt, matice zobrazení, změna matice při změně báze, řešitelnost soustav, inverzní a zobecněná inverzní matice) 6. Bilineární a kvadratické formy (definice, příklady, variační princip) Aplikace: Metoda nejmenších čtverců II, řešení nekonzistentních soustav, podmíněné extrémy 7. Vlastní čísla a vektory (definice, příklady, charakteristický polynom, determinant, stopa, Geršgorinova věta, důsledky). 8. Schurův rozklad a spektrální rozklad, odvození, maticový kalkul, příklady. 9. Stochastické matice, markovovské procesy 10. Page Rank, vlastní vektory a Google. 11. SVD a polární rozklad (odvození, zkrácený rozklad, geometrický význam). Důsledky a aplikace: Moore-Penroseova pseudoinverze, efektivní aproximace velkých matic, matematika image deblurring. 12. Optimalizace – QP, konvexita, KKT pro nerovnostní omezení, dualita pro konvexní úlohy QP. Příklad: Image registration, image deblurring. 13. SVM (opakování analytické geometrie, formulace, řešení s využitím duality) 14. Tensory a jejich representace. Aplikace: využití dodatečné informace pro čtení psaného textu

Povinná literatura:

Zdenek Dostál, Lineární algebra, VŠB Ostrava 2000

Doporučená literatura:

Milan Hladík, Lineární algebra(nejen)pro informatiky, MFF UK 2019 (pdf na https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/LA/text_la_upd.pdf) Luboš Motl, Miloš Zahradník : Pěstujeme lineární algebru. MFF UK 2011 (http://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html)

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

Dva kontrolní testy ve cvičení.

E-learning

Další požadavky na studenta

Žádné další požadavky na studenta nejsou kladeny

Prerekvizity

Předmět nemá žádné prerekvizity.

Korekvizity

Předmět nemá žádné korekvizity.

Osnova předmětu

Přednášky: • Úvod do maticových rozkladů s příklady aplikací • Spektrální rozklad symetrické matice • Aplikace spektrálního rozkladu: maticové funkce, vysvětlení konvergence iteračních metod, extremální vlastnosti vlastních čísel • QR rozklad - praktické určení hodnosti matice, stabilní řešení soustavy rovnic, zrcadlení • SVD – aproximace maticí dané hodnosti, aproximace velkých matic součinem, princip image deblurring, image compression • Přibližné rozklady velkých matic a související lineární algebra • Tensorové aproximace - Kroneckerův součin, obecné tensory, tensorový SVD, tensor train, aplikace na image debluring • Variační princip a metoda nejmenších čtverců • Metoda úplných nejmenších čtverců • Minimalizace kvadratické fumkce s omezením – KKT, dualita, základní algoritmy, formulace SVM, základní algoritmus pro nezáporný rozklad (aplikace v data clustering) • Analytická geometrie s využitím maticových rozkladů • Základy řešení inverzních problémů – Tichonovská regularizace, aplikace Cvičení: Cvičení budou tématicky shodná s přednáškami a budou zaměřena na získání praktických zkušeností z aplikované algebry.

Podmínky absolvování předmětu

Kombinovaná forma (platnost od: 2015/2016 zimní semestr)
Název úlohyTyp úlohyMax. počet bodů
(akt. za podúlohy)
Min. počet bodůMax. počet pokusů
Zápočet a zkouška Zápočet a zkouška 100 (100) 51
        Zápočet Zápočet 30  15
        Zkouška Zkouška 70  21 3
Rozsah povinné účasti: Účast na tutoriálech je doporučena.

Zobrazit historii

Podmínky absolvování předmětu a účast na cvičeních v rámci ISP: Splnění všech povinných úkolů v individuálně dohodnutých termínech.

Zobrazit historii

Výskyt ve studijních plánech

Akademický rokProgramObor/spec.Spec.ZaměřeníFormaJazyk výuky Konz. stř.RočníkZLTyp povinnosti
2021/2022 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2020/2021 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2019/2020 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2019/2020 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2018/2019 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2018/2019 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2017/2018 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2017/2018 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2016/2017 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2016/2017 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2015/2016 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika P angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán
2015/2016 (N2647) Informační a komunikační technologie (2612T025) Informatika a výpočetní technika K angličtina Ostrava 1 volitelný odborný stu. plán

Výskyt ve speciálních blocích

Název blokuAkademický rokForma studiaJazyk výuky RočníkZLTyp blokuVlastník bloku

Hodnocení Výuky

Předmět neobsahuje žádné hodnocení.