470-4201/02 – Aplikovaná algebra (AA)
Garantující katedra | Katedra aplikované matematiky | Kredity | 4 |
Garant předmětu | prof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc. | Garant verze předmětu | prof. RNDr. Zdeněk Dostál, DSc. |
Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | volitelný odborný |
Ročník | 1 | Semestr | letní |
| | Jazyk výuky | angličtina |
Rok zavedení | 2015/2016 | Rok zrušení | |
Určeno pro fakulty | FEI | Určeno pro typy studia | navazující magisterské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Cílem předmětu je seznámit studenty s kapitolami lineární a multilineární algebry s jejich aplikacemi v moderních iformačních technologiích. Absolvent se bude orientovat v matematickém aparátu, na jehož základě pracují vyhledávače, některé metody umělé inteligence, analýzy obrazu atd.
Vyučovací metody
Přednášky
Cvičení (v učebně)
Anotace
1. Vektorový prostor (definice, příklady – matematické: Rn, Cn, funkce na čtverci a krychli, vlastnosti odvozené z axiomů, podprostory, závislost, báze podprostorů, souřadnice, změna báze a matice transformace). Hierarchické báze.
2. Ortogonalita v Rn (reálný skalární součin, příklady, SPD matice, Schwarzova nerovnost, velikost a úhel dvou vektorů, definice, příklady, ortogonální a ortonormální báze, Schmidtův proces, výpočet souřadnic, ortogonální matice). Aplikace: metoda sdružených směrů, aproximace v podprostoru I.
3. Ortogonalita v Cn (komplexní čísla a jejich representace, komplexní vektorové prostory, komplexní exponenciální funkce, exponenciální báze, výpočet souřadnic, unitární matice a unitární transformace, Parsevalova a Plancherelova rovnost)
4. Fourierova transformace a FFT (Fourierova báze, maticová representace, Fourierova transformace, vlastnosti, rychlý výpočet souřadnic – FFT, Haarovy wavelety) Aplikace: Identifikace hran, komprese obrazu.
5. Lineární zobrazení (definice, příklady, hodnost a defekt, matice zobrazení, změna matice při změně báze, řešitelnost soustav, inverzní a zobecněná inverzní matice)
6. Bilineární a kvadratické formy (definice, příklady, variační princip) Aplikace: Metoda nejmenších čtverců II, řešení nekonzistentních soustav, podmíněné extrémy
7. Vlastní čísla a vektory (definice, příklady, charakteristický polynom, determinant, stopa, Geršgorinova věta, důsledky).
8. Schurův rozklad a spektrální rozklad, odvození, maticový kalkul, příklady.
9. Stochastické matice, markovovské procesy
10. Page Rank, vlastní vektory a Google.
11. SVD a polární rozklad (odvození, zkrácený rozklad, geometrický význam). Důsledky a aplikace: Moore-Penroseova pseudoinverze, efektivní aproximace velkých matic, matematika image deblurring.
12. Optimalizace – QP, konvexita, KKT pro nerovnostní omezení, dualita pro konvexní úlohy QP. Příklad: Image registration, image deblurring.
13. SVM (opakování analytické geometrie, formulace, řešení s využitím duality)
14. Tensory a jejich representace. Aplikace: využití dodatečné informace pro čtení psaného textu
Povinná literatura:
Zdenek Dostál, Lineární algebra, VŠB Ostrava 2000
Doporučená literatura:
Milan Hladík, Lineární algebra(nejen)pro informatiky, MFF UK 2019 (pdf na https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/LA/text_la_upd.pdf)
Luboš Motl, Miloš Zahradník : Pěstujeme lineární algebru. MFF UK 2011 (http://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html)
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Dva kontrolní testy ve cvičení.
E-learning
Další požadavky na studenta
Žádné další požadavky na studenta nejsou kladeny
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Přednášky:
• Úvod do maticových rozkladů s příklady aplikací
• Spektrální rozklad symetrické matice
• Aplikace spektrálního rozkladu: maticové funkce, vysvětlení konvergence iteračních metod, extremální vlastnosti vlastních čísel
• QR rozklad - praktické určení hodnosti matice, stabilní řešení soustavy rovnic, zrcadlení
• SVD – aproximace maticí dané hodnosti, aproximace velkých matic součinem, princip image deblurring, image compression
• Přibližné rozklady velkých matic a související lineární algebra
• Tensorové aproximace - Kroneckerův součin, obecné tensory, tensorový SVD, tensor train, aplikace na image debluring
• Variační princip a metoda nejmenších čtverců
• Metoda úplných nejmenších čtverců
• Minimalizace kvadratické fumkce s omezením – KKT, dualita, základní algoritmy, formulace SVM, základní algoritmus pro nezáporný rozklad (aplikace v data clustering)
• Analytická geometrie s využitím maticových rozkladů
• Základy řešení inverzních problémů – Tichonovská regularizace, aplikace
Cvičení:
Cvičení budou tématicky shodná s přednáškami a budou zaměřena na získání praktických zkušeností z aplikované algebry.
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky
Předmět neobsahuje žádné hodnocení.