616-3001/01 – Aplikovaná matematika (AM)
| Garantující katedra | Katedra ochrany životního prostředí v průmyslu | Kredity | 7 |
| Garant předmětu | Ing. Jan Bitta, Ph.D. | Garant verze předmětu | Ing. Jan Bitta, Ph.D. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinný |
| Ročník | 1 | Semestr | zimní |
| | Jazyk výuky | čeština |
| Rok zavedení | 2014/2015 | Rok zrušení | 2019/2020 |
| Určeno pro fakulty | HGF, FMT | Určeno pro typy studia | navazující magisterské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
- Znalost možností, omezení a chyb matematických modelů a numerických výpočtů
- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice
- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení okrajových úloh pro obyčejné diferenciální rovnice
- Znalost základních metod pro analytický a numerický výpočet řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice
- Schopnost aplikovat získané znalosti o numerických algoritmech
Vyučovací metody
Přednášky
Cvičení (v učebně)
Anotace
Aplikovaná matematika je odvětví matematiky zabývající se studiem těch oblastí matematiky, které se používají jako vhodný nástroj v nějakém nematematickém oboru. Rozvíjí matematické metody používané mimo samotnou matematiku, upřesňuje způsob, kterým je takové metody možné použít, a ručí za správnost jimi dosažených výsledků.
Povinná literatura:
Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N.: Přenosové jevy. Academia, Praha 1968.
Dont M.: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Skripta ČVUT, Praha, 1997.
Feistauer M.: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic. Skripta, SPN, Praha, 1981
Doporučená literatura:
Jenson,V.G.,Jeffreys,G.V.: Matematické metódy v chemickom inžinierstve. ALFA Bratislava, 1973.
Kubíček,M.: Numerické algoritmy řešení chemickoinženýrských úloh, SNTL Praha, ALFA Bratislava, 1983.
Škrášek, J.,Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky I, II. Praha, SNTL 1986.
Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, II. Praha, Prometheus, 1995.
Další studijní materiály
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
E-learning
Další požadavky na studenta
Student vypracuje 6 samostatných úloh pokrývajících teoretickou náplň předmětu.
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
1. Úvod do předmětu. Modelování. Fyzické a abstraktní modely. Matematické modelování, výpočtová matematika. Chyby v matematických modelech. Metody verifikace modelů. Apriorní a aposteriorní odhad chyb. Využití matematických modelů v praxi.
2. Základní pojmy v přenosových jevech 1. – skaláry, vektory – kartézská a geometrická reprezentace vektorů, vektorové prostory, dimenze vektorových prostorů. Skalární, vektorový a tenzorový součin vektorů a jejich geometrické významy. Matice – jevy reprezentované pomocí matic, singulární a regulární matice, determinant matice a jeho geometrický význam, transpozice matic, symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory matice.
3. Základní pojmy v přenosových jevech 2. – Tenzory, vztah tenzorů k vektorům a maticím, základy tenzorového počtu, diferenciální operace s tenzory. Základy teorie pole – skalární a vektorové pole, gradient skalárního pole, divergence a rotace vektorového pole a jejich geometrický význam, skalární potenciál vektorového pole.
4. Počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice – Formulace počáteční úlohy pro rovnici prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro soustavy rovnic prvního řádu. Formulace počáteční úlohy pro rovnici n-tého řádu a její převod na soustavu rovnic 1. řádu. Věta o existenci řešení počáteční úlohy 1. řádu. Vztahy mezi Lipschitzovskými, spojitými a spojitě diferencovatelnými funkcemi. Vlastnosti řešení ¨počáteční úlohy 1. řádu.
5. Analytické metody řešení ODR – Metoda přímé integrace, metoda separace proměnných, lineární rovnice n-tého řádu a soustavy lineárních rovnic. Charakteristické funkce, fundamentální řešení, metoda variace konstant.
6. Numerické metody řešení ODR 1 – Diskretizace úloh. Obecné numerické schéma řešení ODR. Explicitní a implicitní metody. Jedno- a vícekrokové metody. Eulerova metoda – explicitní, implicitní, lichoběžníková. Interpolace funkcí – Lagrangeova interpolace, Hermitova interpolace.
7. Numerické metody řešení ODR 2 – Konsistence, stabilita a konvergence numerických schémat. Rychlost konvergence úloh. Podmíněnost úloh. Počítačová reprezentace čísel. Zaokrouhlovací chyby. Konvergence a stabilita postupů založených na Eulerově metodě. Metody typu prediktor-korektor. Metody typu Runge-Kutta.
8. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajové úlohy. Okrajové podmínky – Dirichletova, Neumannova okrajová podmínka, Newtonova okrajová podmínka, samoadjugovaný tvar lineární ODR 2. řádu. Ortogonální funkce a jejich základní vlastnosti. Fourierovy řady. Homogenní okrajové úlohy. Vlastní čísla a vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Analytické řešení pomocí přímé integrace. Fourierova metoda.
9. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pomocí metody sítí (metoda konečných diferencí). Numerické schéma metody, reprezentace okrajových podmínek. Vlastnosti momentové matice. Speciální Gaussova eliminace pro třípásové matice. Konvergence metody sítí. Stacionární jednorozměrné vedení tepla v tyči, desce, válci a kouli. Omezení metody sítí.
10. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice 3 – Metoda konečných prvků pro okrajové úlohy ODR. Slabá formulace úlohy, Galerkinovské aproximace, Courantova báze. Vlastnosti matice tuhosti. Konvergence metody konečných prvků. Adaptivní zjemňování výpočetní sítě.
11. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 1 – Formulace okrajových úloh pro PDR. Lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu a jejich klasifikace. Okrajové podmínky pro PDR. Metoda separace proměnných (Fourierova metoda). Metoda kombinace proměnných u parabolických úloh. Metoda fundamentálního řešení (Greenova funkce).
12. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2 – Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou sítí (metoda konečných diferencí). Požadavky na výpočetní síť pro zajištění konvergence úlohy. Numerické řešení okrajových úloh pro PDR metodou konečných prvků. Časově proměnné úlohy, metoda časových řezů pro parabolické úlohy. Časové řezy typu – explicitní, implicitní, Crank-Nicholson.
13. Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 3 – Aplikace analytických a numerických postupů na úlohy – nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Symetrický a nesymetrický ohřev omezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Řešení okrajových úloh difúzních rovnic.
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky