619-0801/01 – Přenosové jevy I. (PJ I)
| Garantující katedra | Katedra fyzikální chemie a teorie technologických procesů | Kredity | 7 |
| Garant předmětu | doc. RNDr. Věra Dobrovská, CSc. | Garant verze předmětu | doc. RNDr. Věra Dobrovská, CSc. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinně volitelný |
| Ročník | 1 | Semestr | zimní |
| | Jazyk výuky | čeština |
| Rok zavedení | 2005/2006 | Rok zrušení | 2014/2015 |
| Určeno pro fakulty | FMT | Určeno pro typy studia | navazující magisterské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Cílem předmětu je naučit studenty nejenom základní matematické poznatky, postupy a metody, ale rovněž prohlubovat jejich logické myšlení.
Studenti by se měli naučit:
analyzovat problém, navrhnout postup řešení, vyhodnocovat správnost výsledků vzhledem k zadaným podmínkám, aplikovat úlohy na řešení technických problémů.
Vyučovací metody
Přednášky
Individuální konzultace
Cvičení (v učebně)
Ostatní aktivity
Anotace
Obsahem předmětu jsou vybrané kapitoly z tenzorového počtu, teorie pole
a metody řešení okrajových úloh pro obyčejné a parciální diferenciální
rovnice. Získané poznatky lze uplatnit při řešení úloh matematického
modelování dějů spojených s přenosem tepla, hmoty a hybnosti.
Povinná literatura:
Angot, A. Užitá matematika pro elektrotechnické inženýry. Praha: SNTL, 1971.
Míka, S., Kufner, A. Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Praha: SNTL, 1983.
Míka, S., Kufner, A. Parciální diferenciální rovnice I. Praha: SNTL, 1983.
Barták, J. aj. Parciální diferenciální rovnice II. Praha: SNTL MVŠT, 1988.
Bird, R. B., Stewart, W. E., Lightfoot, E. N. Přenosové jevy. Praha: Academia, 1968.
Franců,J.: Parciální diferenciální rovnice, FSI VUT, Brno 2003.
Doporučená literatura:
Jenson,V.G.,Jeffreys,G.V.: Matematické metódy v chemickom inžinierstve. ALFA Bratislava, 1973.
Kubíček,M.:Numerické algoritmy řešení chemickoinženýrských úloh, SNTL Praha, ALFA Bratislava, 1983.
Škrášek, J.,Tichý, Z.: Základy aplikované matematiky I,II, Praha, SNTL 1986.
Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I,II, Praha, Prometheus, 1995.
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Podmínky absolvování předmětu
Podmínky pro udělení zápočtu:
- účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit,
- odevzdání programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě,
- absolvování písemných testů, každý test je možno jednou opravit.
Za splnění podmínek získá student 5 b. Za testy může získat student 0 - 15 b. (Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 - 20 b).
Požadavky ke zkoušce:
Podmínkou pro účast na zkoušce je zapsaný zápočet z příslušného předmětu.
Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 bodů.
Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 bodů.
Po sečtení bodů získaných za zápočet, písemnou a ústní část zkoušky bude student hodnocen výborně, velmi dobře, dobře a nevyhověl, podle tabulky studijního a zkušebního řádu VŠB - TUO.
Pro zapsání zkoušky podle tabulky musí student úspěšně absolvovat obě části kombinované zkoušky a dosáhnout potřebného počtu bodů.
Bodové hodnocení:
Získané body Známka
86 - 100 výborně
66 - 85 velmi dobře
51 - 65 dobře
0 - 50 nevyhověl
E-learning
Další požadavky na studenta
Další požadavky nejsou definovány.
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Tenzorový počet
Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, vektorové diferenciální operace.
Tenzory 2. řádu. Tenzorové operace, diferenciální operace s tenzory. Hlavní
směry a invarianty symetrického tenzoru 2. řádu. Teorie pole. Gradient
skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace vektorového pole. Tok
vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a tenzory: Stokesova,
Gauss-Ostrogradského. Složky vektorů a tenzorů v křivočarých souřadnicích.
Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity. Přenos tepla,
hmoty.
Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice (DR)
Formulace okrajové úlohy (OÚ). Okrajové podmínky. Samoadjungovaný tvar lineární
DR 2. řádu. Ortogonální soustavy funkcí. Fourierovy řady. Homogenní OÚ. Vlastní
čísla a vlastní funkce homogenní OÚ. Sturmova-Liouvilleova úloha. Besselova
rovnice. Některé metody řešení nehomogenních OÚ: Metoda přímé integrace.
Fourierova metoda. Metoda variace konstant (Greenova funkce). Metoda konečných
diferencí (metoda sítí). Aplikace: Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v desce, válci a kouli.
Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice (PDR)
Lineární PDR 2. řádu a jejich klasifikace. Podmínky počáteční, okrajové.
Formulace OÚ pro rovnice evoluční a stacionární. Některé metody řešení OÚ
rovnic parabolického typu: Metoda separace proměnných (Fourierova metoda).
Metoda kombinace proměnných (metoda podobnostní transformace). Metoda
fundamentálního řešení (metoda Greenovy funkce). Metoda konečných diferencí
(metoda sítí). Řešení OÚ rovnic eliptického typu. Metoda separace proměnných.
Metoda konečných diferencí. Aplikace metod na řešení modelových úloh:
Nestacionární vedení tepla v poloomezeném tělese. Nesymetrický a symetrický
ohřev neomezené desky. Ohřívání desky konečné tloušťky. Nestacionární vedení
tepla v neomezeném válci a v kouli. Nestacionární vedení tepla v tělesech
konečné velikosti. Řešení OÚ difúzní rovnice: difúze mezi dvěma poloprostory,
difúze v poloprostoru, difúze ve vrstvě konečné tloušťky.
Teoretická cvičení
1. Algebraický úvod (opakování). Matice, determinant. Řešení soustav lineárních
rovnic. Kvadratické formy.
2. Skalár, vektor, tenzor. Vektorové operace, jejich vlastnosti a použití.
Vektorové diferenciální operace, vlastnosti a vztahy.
3. Tenzory 2.řádu. Tenzorové operace a jejich vlastnosti. Diferenciální operace
s tenzory. Hlavní směry a invarianty symetrického tenzoru 2.řádu.
4. Gradient skalárního pole. Skalární potenciál. Divergence a rotace
vektorového pole. Tok vektoru uzavřenou plochou. Integrální věty pro vektory a
tenzory : Stokesova, Gauss-Ostrogradského.
5. Diferenciální operátory v ortogonálních křivočarých souřadnicích. Aplikace
tenzorového počtu v přenosových jevech: Rovnice kontinuity.
6. Samoadjungovaný tvar lineární diferenciální rovnice 2.řádu. Vlastní čísla a
vlastní funkce homogenní okrajové úlohy. Sturmova-Liouvilleova úloha.
7. Analytické metody řešení okrajových úloh: Metoda přímé integrace. Fourierova
metoda.
8. Numerická metoda: Metoda konečných diferencí (metoda sítí). Aplikace:
Stacionární vedení tepla v tuhých tělesech.
9. Stacionární, jednorozměrné vedení tepla v rovinné desce, válci a kouli.
Teplotní profil, tepelný tok, povrchové teploty.
10. Řešení okrajových úloh rovnic parabolického typu metodou separace
proměnných. Difúze a vedení tepla ve vrstvě konečné tloušťky. Difúze titanu ve
vrstvě s izolovanými stěnami.
11. Řešení okrajových úloh metodou kombinace proměnných a metodou
fundamentálního řešení: Difúze mezi dvěma poloprostory, difúze z vrstvy konečné
šířky do nekonečné oblasti, difúze s neproniknutelnou (odrážející) hranicí.
Ohřívání polonekonečné desky.
12. Nesymetrický a symetrický ohřev (chlazení) neomezené desky. Řešení
vybraných úloh z doporučené literatury [6]: Použití termoplastického lepidla.
Srovnání dvou způsobů řešení pro vrstvu při krátkých časových intervalech.
Průměrná teplota desky.
13. Řešení dané okrajové úlohy metodou konečných diferencí. Stabilita a
konvergence metody.Odhad chyby metody. Porovnání hodnot analytického a
numerického řešení ve vybraných bodech.
14. Analytické řešení daných okrajových úloh pro Laplaceovu rovnici na
obdélníku a na kruhu. Řešení okrajové úlohy pro Poissonovu rovnici v prostoru
mezi dvěma koulemi.
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky