714-0087/01 – Numerické metody (NM)

Cílem předmětu je seznámit posluchače s numerickým řešením matematických úloh, s nimiž se mohou setkat v jiných předmětech studia a v praxi. Hlavní důraz je položen na vysvětlení podstaty jednotlivých numerických metod a jejich obecných vlastností, což by mělo umožnit rozhodnout o použitelnosti numerických postupů při řešení konkrétních úloh. Důležitou součástí výkladu je také algoritmická implementace a seznámení se s využitím existujících programů určených pro numerické výpočty. Absolvent tohoto předmětu by měl dokázat: - rozeznat úlohy, které lze řešit numerickými postupy, a umět vybrat vhodnou numerickou metodu řešení; - posoudit, zda vypočítané řešení je dostatečně přesné, případně určit příčiny, které neumožňují dosáhnout dané přesnosti; - navrhnout algoritmický postup řešení úlohy a vybrat vhodný programovací prostředek.

Problematika numerických výpočtů: Zdroje a typy chyb, podmíněnost úlohy, numerická stabilita algoritmu. Řešení rovnice f(x)=0: Separace kořenů, metoda půlení intervalu, metoda regula - falsi, Newtonova metoda, iterační metoda. Podmínky konvergence. Řešení soustav lineárních rovnic: LU rozklad, iterační metody, podmínky konvergence, číslo podmíněnosti matice, špatně podmíněné matice. Řešení soustav nelineárních rovnic: Prostá iterační metoda, Newtonova metoda, podmínky konvergence. Interpolace a aproximace funkcí: Polynomiální interpolace, interpolace pomocí spline funkcí, aproximace metodou nejmenších čtverců, Čebyševova aproximace. Numerická kvadratura: Lichoběžníková a Simpsonova metoda, Richardsonova extrapolace, výpočet integrálu metodou Monte Carlo.

[1] Vitásek,E.: Numerické metody.SNTL, Praha 1987

Podmínky absolvování předmětu Podmínky pro udělení zápočtu (prezenční studium): - účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit, - odevzdání programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě, - absolvování písemných testů, každý test je možno jednou opravit. Za splnění podmínek získá student 5 bodů. Za testy může získat student 0 - 15 bodů. (Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 - 20 bodů). Podmínky pro udělení zápočtu (kombinované studium): Za účast na konzultacích může student získat 5 - 20 bodů, v případě neúčasti může student získat 5 bodů za zpracování zadaného programu. Požadavky ke zkoušce: Podmínkou pro účast na zkoušce je zapsaný zápočet z příslušného předmětu. Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 bodů. Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 body, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 bodů. Po sečtení bodů získaných za zápočet, písemnou a ústní část zkoušky bude student hodnocen výborně, velmi dobře, dobře a nevyhověl, podle tabulky studijního a zkušebního řádu VŠB - TUO. Pro zapsání zkoušky podle tabulky musí student úspěšně absolvovat obě části kombinované zkoušky a dosáhnout potřebného počtu bodů. Bodové hodnocení: 86 - 100 výborně 66 - 85 velmi dobře 51 - 65 dobře 0 - 50 nevyhověl Soubor otázek k teoretické části zkoušky: I. Problematika numerických výpočtů 1. Vznik a klasifikace chyb. Zobrazení čísel v počítači. Aproximace čísel. Absolutní, relativní chyby, jejich odhady. 2. Chyby aritmetických operací. 3. Podmíněnost úloh. Numerická stabilita algoritmů. II. Řešení algebraických a transcendentních rovnic 4. Separace kořenů rovnice f(x) = 0. Věty o kořenech algebraických rovnic. 5. Numerické metody řešení (půlení intervalu, regula-falsi, Newtonova metoda, iterační metoda). III. Řešení soustav lineárních rovnic 6. Přímé metody (LU rozklad). 7. Normy matic, podmíněnost matic. Vlastní čísla, vlastní vektory matice. Spektrální poloměr. Posloupnosti vektorů, jejich konvergence. 8. Iterační metody. Prostá a Seidelova iterační metoda. IV. Interpolace a aproximace funkcí 9. Interpolace funkcí. Interpolace algebraickými polynomy, splajnová interpolace. 10. Metoda nejmenších čtverců. 11. Čebyševovy aproximace. V. Výpočet určitého integrálu 12. Lichoběžníková formule. Simpsonova formule. Složené formule. 13. Odhad chyby Richardsonovou extrapolací. Rombergova integrace. 14. Stochastické početní metody. Pseudonáhodná čísla a jejich generátory. Výpočet integrálů metodou Monte Carlo. VI. Řešení soustav nelineárních rovnic 15. Metoda postupných aproximací, podmínky konvergence. 16. Newtonova metoda.