714-0352/01 – Numerická matematika (NM)

Garantující katedraKatedra matematiky a deskriptivní geometrieKredity4
Garant předmětuprof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D.Garant verze předmětuprof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D.
Úroveň studiapregraduální nebo graduálníPovinnostpovinný
Ročník2Semestrzimní
Jazyk výukyčeština
Rok zavedení1999/2000Rok zrušení2004/2005
Určeno pro fakultyFSUrčeno pro typy studiamagisterské
Výuku zajišťuje
Os. čís.JménoCvičícíPřednášející
RYH40 RNDr. Irena Rychtarová
Rozsah výuky pro formy studia
Forma studiaZp.zak.Rozsah
prezenční Zápočet a zkouška 2+2
kombinovaná Zápočet a zkouška 15+4

Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi

Předmět se ve strukturovaném studiu nevyučuje.

Vyučovací metody

Anotace

Obsahem předmětu numerická matematika jsou základní numerické metody matematické analýzy a lineární algebry a jejich řešení pomocí počítače. Předpokládá se znalost základů práce s počítačem, základů programování a některé vědomosti ze základního kurzu matematiky. Výklad je zaměřen na pochopení podstaty jednotlivých metod tak, aby student mohl samostatně provést jejich naprogramování (v nejjednodušší podobě) a dokázal rozhodnout o použitelnosti při řešení konkrétních úloh. Součástí předmětu je také zvládnutí vhodného profesionálního programu, který obsahuje numerické funkce.

Povinná literatura:

1. Boháč,Z.Častová,N.: Základní numerické metody. Skriptum VŠB, Ostrava 1985. 2. Dalík,J.: MATEMATIKA. Numerické metody. Skriptum VUT, Brno 1992. 3. Míka,S.: Numerické metody algebry. MVŠT, SNTL 1982. 4. Přikryl,P.: Numerické metody matematické anlýzy. MVŠT, SNTL 1985. 5. Ralston,A.: Základy numerické matematiky. Academia 1973. 6. Vitásek,E.: Numerické metody, SNTL, Praha 1987. Zörnig,P.: Numerické metody. Skriptum ČVUT, Praha 1989.

Doporučená literatura:

Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta

Požadavky pro udělení zápočtu a zkoušky =============================== Cvičení ----------- Podmínky pro udělení zápočtu : - účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit, - odevzdání 2 programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě (po 4 bodech), - absolvování 3 písemných testů (po 4 bodech). Za splnění podmínek získá student 8 b. Student, který získá zápočet, bude hodnocen 8 - 20 b. Zkouška ------------- Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 b. Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 b. Otázky ke zkoušce ============== 1. Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace? 2. Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací? 3. Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy? 4. Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu? 5. Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7. Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 9. Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci. 10. Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě. 11. Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce. 12. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 13. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 14. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 15. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 16. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 17. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod. 18. Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. (poslední přednáška) 19. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 20. Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 21. Interpolační splajny. (poslední přednáška) 22. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 23. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 24. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 25. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 26. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 27. Formulace Cauchyovy úlohy. Kdy existuje řešení? Vysvětlete pomocí obrázku jak vypadá výpočet přibližného řešení pomocí u Eulerovy metody. 28. Jednokrokové metody.Co je lokální a globální chyba a jaký mají vztah k řádu metody? 29. Vícekrokové metody. V čem je jejich přínos oproti metodám jednokrokovým? Příklady explicitních a implicitních vzorců. 30. Sestavte algoritmus prediktor-korektor.

E-learning

Další požadavky na studenta

Prerekvizity

Předmět nemá žádné prerekvizity.

Korekvizity

Předmět nemá žádné korekvizity.

Osnova předmětu

Přednášky 1. Vymezení obsahu předmětu numerická matematika, diskrétní a spojité úlohy, diskretizace. Chyby při numerickém řešení úloh: diskretizační a zaokrouhlovací. Podmíněnost úloh a algoritmů. 2. Řešení nelineárních rovnic. Nejjednodušší metody pro výpočet reálného kořene jedné reálné rovnice. Newtonova metoda a její modifikace. Metoda prosté iterace. 3. Newtonova metoda a metoda prosté iterace pro soustavy nelineárních rovnic. Věta o kontrakci. 4. Přímé metody pro řešení soustav lineárních rovnic. LU-faktorizace a její vztah ke Gaussově eliminační metodě. Použití LU-faktorizace pro řešení soustavy lineárních rovnic, výpočet inverzní matice a determinantu. Další maticové faktorizace. 5. Numerický výpočet vlastních čísel a vektorů, LR-algoritmus, QR- algoritmus. Maticové normy. Číslo podmíněnosti matice, předpodmínění. 6. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. Podmínky konvergence. Jacobiova, Gauss-Seidelova a relaxační metoda. Princip gradientních metod. 7. Interpolace a aproximace funkcí a diskrétních dat. Tvary interpolačního polynomu. Vlastnosti polynomické interpolace. 8. Interpolace po částech, interpolační splajny a jejich vlastnosti. Aproximace metodou nejmenších čtverců. 9. Numerický výpočet derivace, šíření chyby. Numerická integrace, Newton- Cotesovy vzorce. 10. Extrapolace při výpočtu integrálu, Rombergova metoda. Gaussovy vzorce pro numerickou integraci. 11. Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Eulerova metoda, lokální a globální chyba, řád. Jednokrokové metody typu Runge- Kutta: Heunova, RK4. 12. Vícekrokové metody: Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy Moultonovy metody, metody typu prediktor-korektor. 13.Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu. 14. Soustavy diferenciálních rovnic. Cvičení 1. Matematický software. Řešení numerických úloh pomocí standardních funkcí. 2. Separace kořenů. Řešení nelineárních rovnic - metoda půlení intervalu a regula falsi. 3. Newtonova metoda a metoda prosté iterace pro jednu rovnici. 4. Soustavy nelineárních rovnic. 5. 1. písemka. Výpočet LU- faktorizace. 6. Použití maticových faktorizací. Odevzdání 1. programu. 7. Iterační řešení lineárních soustav. 8. Interpolace pomocí polynomů. 9. 2. písemka. Interpolace pomocí splajnů. 10. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odevzdání 2. programu. 11. Numerické derivování a integrování. Půlení kroku a extrapolace. 12. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice - jednokrokové metody . 13. 3. písemka. Vícekrokové metody. 14. Odevzdání 3. programu. Zápočty.

Podmínky absolvování předmětu

Prezenční forma (platnost od: 1960/1961 letní semestr)
Název úlohyTyp úlohyMax. počet bodů
(akt. za podúlohy)
Min. počet bodů
Zápočet a zkouška Zápočet a zkouška 100 (145) 51
        Zkouška Zkouška 100  0
        Zápočet Zápočet 45  0
Rozsah povinné účasti:

Zobrazit historii

Výskyt ve studijních plánech

Akademický rokProgramObor/spec.Spec.FormaJazyk výuky Konz. stř.RočníkZLTyp povinnosti
2003/2004 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2002/2003 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2002/2003 (M2301) Strojní inženýrství (2301T666) Strojnictví /přestupy/ P čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2002/2003 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství P čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2002/2003 (M2301) Strojní inženýrství (2301T666) Strojnictví /přestupy/ K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2001/2002 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2001/2002 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství P čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2001/2002 (M2301) Strojní inženýrství (2301T666) Strojnictví /přestupy/ P čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2001/2002 (M2301) Strojní inženýrství (2301T666) Strojnictví /přestupy/ K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2000/2001 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství K čeština Ostrava 2 povinný stu. plán
2000/2001 (M2301) Strojní inženýrství (2301T999) Strojírenství P čeština Ostrava 2 povinný stu. plán

Výskyt ve speciálních blocích

Název blokuAkademický rokForma studiaJazyk výuky RočníkZLTyp blokuVlastník bloku