714-0352/01 – Numerical Mathematics (NM)

Gurantor departmentDepartment of Mathematics and Descriptive GeometryCredits4
Subject guarantorprof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D.Subject version guarantorprof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D.
Study levelundergraduate or graduateRequirementCompulsory
Year2Semesterwinter
Study languageCzech
Year of introduction1999/2000Year of cancellation2004/2005
Intended for the facultiesFSIntended for study typesMaster
Instruction secured by
LoginNameTuitorTeacher giving lectures
RYH40 RNDr. Irena Rychtarová
Extent of instruction for forms of study
Form of studyWay of compl.Extent
Full-time Credit and Examination 2+2
Combined Credit and Examination 15+4

Subject aims expressed by acquired skills and competences

This course is closed.

Teaching methods

Summary

Bisection, regula-falsi, Newton method, basic iterations. Gauss elimination, LU- factorization, Jacobi and Gauss-Seidel method. Interpolating polynomials, cubic interpolating splines, method of least-squares. Numerical differentiation and integration. Initial problems for the ordinary differential equations.

Compulsory literature:

1. Van Loan, C., F. : Introduction to Scientific Computing. 1999.

Recommended literature:

Way of continuous check of knowledge in the course of semester

Požadavky pro udělení zápočtu a zkoušky =============================== Cvičení ----------- Podmínky pro udělení zápočtu : - účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit, - odevzdání 2 programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě (po 4 bodech), - absolvování 3 písemných testů (po 4 bodech). Za splnění podmínek získá student 8 b. Student, který získá zápočet, bude hodnocen 8 - 20 b. Zkouška ------------- Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 b. Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 b. Otázky ke zkoušce ============== 1. Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace? 2. Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací? 3. Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy? 4. Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu? 5. Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7. Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 9. Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci. 10. Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě. 11. Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce. 12. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 13. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 14. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 15. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 16. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 17. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod. 18. Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. (poslední přednáška) 19. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 20. Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 21. Interpolační splajny. (poslední přednáška) 22. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 23. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 24. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 25. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 26. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 27. Formulace Cauchyovy úlohy. Kdy existuje řešení? Vysvětlete pomocí obrázku jak vypadá výpočet přibližného řešení pomocí u Eulerovy metody. 28. Jednokrokové metody.Co je lokální a globální chyba a jaký mají vztah k řádu metody? 29. Vícekrokové metody. V čem je jejich přínos oproti metodám jednokrokovým? Příklady explicitních a implicitních vzorců. 30. Sestavte algoritmus prediktor-korektor.

E-learning

Další požadavky na studenta

Prerequisities

Subject has no prerequisities.

Co-requisities

Subject has no co-requisities.

Subject syllabus:

Přednášky 1. Vymezení obsahu předmětu numerická matematika, diskrétní a spojité úlohy, diskretizace. Chyby při numerickém řešení úloh: diskretizační a zaokrouhlovací. Podmíněnost úloh a algoritmů. 2. Řešení nelineárních rovnic. Nejjednodušší metody pro výpočet reálného kořene jedné reálné rovnice. Newtonova metoda a její modifikace. Metoda prosté iterace. 3. Newtonova metoda a metoda prosté iterace pro soustavy nelineárních rovnic. Věta o kontrakci. 4. Přímé metody pro řešení soustav lineárních rovnic. LU-faktorizace a její vztah ke Gaussově eliminační metodě. Použití LU-faktorizace pro řešení soustavy lineárních rovnic, výpočet inverzní matice a determinantu. Další maticové faktorizace. 5. Numerický výpočet vlastních čísel a vektorů, LR-algoritmus, QR- algoritmus. Maticové normy. Číslo podmíněnosti matice, předpodmínění. 6. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic. Podmínky konvergence. Jacobiova, Gauss-Seidelova a relaxační metoda. Princip gradientních metod. 7. Interpolace a aproximace funkcí a diskrétních dat. Tvary interpolačního polynomu. Vlastnosti polynomické interpolace. 8. Interpolace po částech, interpolační splajny a jejich vlastnosti. Aproximace metodou nejmenších čtverců. 9. Numerický výpočet derivace, šíření chyby. Numerická integrace, Newton- Cotesovy vzorce. 10. Extrapolace při výpočtu integrálu, Rombergova metoda. Gaussovy vzorce pro numerickou integraci. 11. Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Eulerova metoda, lokální a globální chyba, řád. Jednokrokové metody typu Runge- Kutta: Heunova, RK4. 12. Vícekrokové metody: Adamsovy-Bashforthovy a Adamsovy Moultonovy metody, metody typu prediktor-korektor. 13.Obyčejné diferenciální rovnice vyššího řádu. 14. Soustavy diferenciálních rovnic. Cvičení 1. Matematický software. Řešení numerických úloh pomocí standardních funkcí. 2. Separace kořenů. Řešení nelineárních rovnic - metoda půlení intervalu a regula falsi. 3. Newtonova metoda a metoda prosté iterace pro jednu rovnici. 4. Soustavy nelineárních rovnic. 5. 1. písemka. Výpočet LU- faktorizace. 6. Použití maticových faktorizací. Odevzdání 1. programu. 7. Iterační řešení lineárních soustav. 8. Interpolace pomocí polynomů. 9. 2. písemka. Interpolace pomocí splajnů. 10. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odevzdání 2. programu. 11. Numerické derivování a integrování. Půlení kroku a extrapolace. 12. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice - jednokrokové metody . 13. 3. písemka. Vícekrokové metody. 14. Odevzdání 3. programu. Zápočty.

Conditions for subject completion

Conditions for completion are defined only for particular subject version and form of study

Occurrence in study plans

Academic yearProgrammeField of studySpec.FormStudy language Tut. centreYearWSType of duty
2003/2004 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2002/2003 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2002/2003 (M2301) Mechanical Engineering (2301T666) Strojnictví /přestupy/ P Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2002/2003 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering P Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2002/2003 (M2301) Mechanical Engineering (2301T666) Strojnictví /přestupy/ K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2001/2002 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2001/2002 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering P Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2001/2002 (M2301) Mechanical Engineering (2301T666) Strojnictví /přestupy/ P Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2001/2002 (M2301) Mechanical Engineering (2301T666) Strojnictví /přestupy/ K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2000/2001 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering K Czech Ostrava 2 Compulsory study plan
2000/2001 (M2301) Mechanical Engineering (2301T999) Mechanical Engineering P Czech Ostrava 2 Compulsory study plan

Occurrence in special blocks

Block nameAcademic yearForm of studyStudy language YearWSType of blockBlock owner