714-0352/01 – Numerical Mathematics (NM)

This course is closed.

Bisection, regula-falsi, Newton method, basic iterations. Gauss elimination, LU- factorization, Jacobi and Gauss-Seidel method. Interpolating polynomials, cubic interpolating splines, method of least-squares. Numerical differentiation and integration. Initial problems for the ordinary differential equations.

Požadavky pro udělení zápočtu a zkoušky =============================== Cvičení ----------- Podmínky pro udělení zápočtu : - účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit, - odevzdání 2 programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě (po 4 bodech), - absolvování 3 písemných testů (po 4 bodech). Za splnění podmínek získá student 8 b. Student, který získá zápočet, bude hodnocen 8 - 20 b. Zkouška ------------- Písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 b. Ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 b. Otázky ke zkoušce ============== 1. Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace? 2. Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací? 3. Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy? 4. Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu? 5. Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7. Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 9. Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci. 10. Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě. 11. Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce. 12. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 13. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 14. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 15. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 16. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 17. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod. 18. Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. (poslední přednáška) 19. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 20. Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 21. Interpolační splajny. (poslední přednáška) 22. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 23. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 24. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 25. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 26. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 27. Formulace Cauchyovy úlohy. Kdy existuje řešení? Vysvětlete pomocí obrázku jak vypadá výpočet přibližného řešení pomocí u Eulerovy metody. 28. Jednokrokové metody.Co je lokální a globální chyba a jaký mají vztah k řádu metody? 29. Vícekrokové metody. V čem je jejich přínos oproti metodám jednokrokovým? Příklady explicitních a implicitních vzorců. 30. Sestavte algoritmus prediktor-korektor.