714-0366/05 – Matematika I (MI)
| Garantující katedra | Katedra matematiky a deskriptivní geometrie | Kredity | 4 |
| Garant předmětu | RNDr. Jan Kotůlek, Ph.D. | Garant verze předmětu | RNDr. Jan Kotůlek, Ph.D. |
| Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinný |
| Ročník | 1 | Semestr | zimní |
| | Jazyk výuky | angličtina |
| Rok zavedení | 2016/2017 | Rok zrušení | 2019/2020 |
| Určeno pro fakulty | FS | Určeno pro typy studia | bakalářské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Matematika je na vysokých školách technických organickou součástí studia. Neměla by však být vnímána jako cíl, ale jako nezbytný prostředek ke studiu odborných předmětů.
Cílem předmětu je proto naučit studenty nejenom základní matematické poznatky, postupy a metody, ale rovněž prohlubovat jejich logické myšlení.
Studenti by se měli naučit
- analyzovat problém,
- odlišovat podstatné od nepodstatného,
- navrhnout postup řešení,
- kontrolovat jednotlivé kroky řešení,
- zobecňovat vytvořené závěry,
- vyhodnocovat správnost výsledků vzhledem k zadaným podmínkám,
- aplikovat úlohy na řešení technických problémů,
- pochopit, že matematické metody a myšlenkové postupy jsou použitelné i jinde než pouze v matematice.
Vyučovací metody
Přednášky
Individuální konzultace
Cvičení (v učebně)
Ostatní aktivity
Anotace
Předmět navazuje na středoškolské učivo. Je rozčleněn na části 1) reálné funkce jedné reálné proměnné, 2) diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné, 3) lineární algebra a 4) analytická geometrie v Eukleidovském prostoru.
Cílem první kapitoly je prohloubení a zpřesnění středoškolských znalostí o reálných funkcích jedné reálné proměnné. Základní pojem diferenciálního počtu - pojem derivace funkce je zaveden ve druhé kapitole. Využívá se přitom motivace geometrická (tečna ke graf funkce) i fyzikální (okamžitá rychlost). Pomocí derivací jsou vyšetřovány průběhy funkcí a tyto znalosti jsou dále použity i na řešení praktických problémů.
Ve třetí kapitole je vhodnou motivací zaveden pojem n-rozměrný vektorový prostor, jsou studovány matice a jejich užití při řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou. Ve čtvrté kapitole zobecňujeme středoškolské znalosti analytické geometrie na studium lineárním útvarů v Eukleidovském prostoru, uvádíme analytické vyjádření roviny a přímky v E3 a studujeme základní polohové úlohy.
Povinná literatura:
Doporučená literatura:
Musilová J. - Musilová, P.: Matematika I pro porozumění i praxi (VUTIUM, Brno, 2006).
Škrášek, J. a kol.: Základy aplikované matematiky I. a II. SNTL, Praha 1986.
http://mdg.vsb.cz/M
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Podmínky pro udělení zápočtu:
- účast ve cvičení povinná, 20 % neúčasti lze omluvit,
- odevzdání programů zadaných vedoucím cvičení v předepsané úpravě,
- absolvování 3 písemných testů (maximálně po 5 bodech).
Za splnění podmínek získá student 5 b.
Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 – 20 b.
E-learning
http://www.studopory.vsb.cz
http://vsb.cz/714
Další požadavky na studenta
Zkouška:
Kombinovanou zkoušku tvoří vstupní test z derivací (5 příkladů, 10 minut) praktická část (6 příkladů, 60 minut) a teoretická část (20 minut, teoretické otázky).
Praktická část je hodnocena 0 - 60 body, teoretická část 0 - 20 body.
Aby student u zkoušky uspěl musí spočítat alespoň 3 derivace zcela správně, získat v praktické části nejméně 25 bodů a v teoretické části nejméně 5 bodů.
Klasifikace:
získané body známka
86 - 100 výborně
66 - 85 velmi dobře
51 - 65 dobře
0 - 50 nevyhověl
Soubor otázek k teoretické části zkoušky z předmětu Matematika I:
Funkce a diferenciální počet
1. Definice funkce jedné proměnné, zadání funkce.
2. Funkce zadané implicitně a parametricky.
3. Definiční obor, obor hodnot, graf funkce.
4. Funkce sudá, lichá, periodická, ohraničená, monotónní.
5. Funkce prostá, inverzní.
6. Mocninné funkce (D, H, graf, vlastnosti, inverze)
7. Exponenciální funkce (D, H, graf, vlastnosti, inverze).
8. Logaritmické funkce (D, H, graf, vlastnosti, inverze).
9. Goniometrické funkce (D, H, graf, vlastnosti, inverze).
10. Cyklometrické funkce (D, H, graf, vlastnosti, inverze).
11. Limita funkce (vlastní, nevlastní, v nevlastním bodě).
12. Spojité a nespojité funkce.
13. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam derivace, diferenciál funkce.
14. Pravidla pro derivaci, součtu, součinu, podílu a složené funkce.
15. Derivace elementárních funkcí.
16. L'Hopitalovo pravidlo.
17. Určení monotónnosti funkce a extrémů pomocí derivací.
18. Funkce konvexní, konkávní, inflexní body.
19. Asymptoty grafu funkce.
Lineární algebra a analytická geometrie
1. Vektorový prostor a podprostor.
2. Lineární kombinace vektorů, závislost a nezávislost vektorů. Souřadnice.
3. Dimenze a báze vektorového prostoru.
4. Matice, operace s maticemi (součet, k-násobek, součin).
5. Hodnost matice a úpravy, které ji nemění.
6. Determinant matice a úpravy, které nemění jeho hodnotu.
7. Výpočet determinantu Laplaceovým rozvojem podle řádku, nebo sloupce.
8. Matice regulární a singulární. Výpočet inverzní matice.
9. Soustavy lineárních rovnic a jejich řešení, Frobeniova věta.
10. Gaussova eliminační metoda.
11. Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla a pomocí inverzní matice.
12. Skalární součin (definice, výpočet, vlastnosti).
13. Vektorový a smíšený součin (definice, výpočet, vlastnosti, užití).
14. Rovnice roviny v prostoru (parametrické, vektorová, obecná).
15. Vyjádření přímky v prostoru (parametrické, vektorové, obecné).
16. Vzájemná poloha přímek v prostoru.
17. Vzájemná poloha rovin.
18. Vzájemná poloha přímky a roviny.
19. Vzdálenosti lineárních útvarů.
20. Odchylky přímek, rovin, přímky a roviny.
Prerekvizity
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Program přednášek
=================
Týden Náplň přednášek
-------------------------------------------------------------------------------
1. Reálná funkce jedné reálné proměnné: Definice, graf, zadání, operace, vlastnosti (sudé, liché, periodické, ohraničené, monotónní). Funkce složené. Funkce prosté, inverzní.
2. Elementární funkce (včetně cyklometrických funkcí): definiční obory, grafy, vlastnosti, příslušné inverzní funkce. Parametricky a implicitně zadané funkce.
3. Limita a spojitost: definice limity, pravidla pro počítání s limitami, nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Spojitost, příklady nespojitých funkcí.
4. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné: Derivace funkce: definice, pravidla pro derivování, derivace elementárních funkcí. Derivace vyšších řádů. Geometrický a fyzikální význam derivace.
5. Aplikace derivací: L'Hopitalovo pravidlo. Diferenciál funkce. Taylorův polynom. Extremální úlohy.
6. Použití derivací k zjišťování průběhu funkcí: monotónnost, lokální extrémy, zakřivení (konvexnost, konkávnost a inflexní body).
7. Asymptoty. Sestrojení grafu funkce.
8. Lineární algebra: Vektorový prostor. Vektory, jejich lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost. Dimenze a báze vektorového prostoru. Vektorový podprostor.
9. Matice. Operace s maticemi. Ekvivalentní řádkové úpravy matice. Hodnost matice a její výpočet.
10. Determinanty. Výpočet hodnoty determinantu, Sarussovo pravidlo, Laplaceův rozvoj. Vlastnosti determinantu. Inverzní matice.
11. Soustavy lineárních rovnic. Frobeniova věta. Metody řešení: Gaussova eliminace, Cramerovo pravidlo. Řešení maticových rovnic inverzní maticí.
12. Analytická geometrie v prostoru: Euklidovský prostor (axiomy, konstrukce, báze), jeho vlastnosti (skalární, vektorový a smíšený součin vektorů). Rovnice přímky a roviny v prostoru.
13. Polohové a metrické úlohy v E_3. Vzájemná poloha lineárních útvarů, odchylka a vzdálenost.
14. Rezerva
Program cvičení a seminářů
==========================
Týden Náplň cvičení a seminářů
-------------------------------------------------------------------------------
1. Mocninné, logaritmické a exponenciální funkce: definiční obory, grafy, vlastnosti, příslušné inverzní funkce. Funkce složené (konstrukce a definiční obory).
2. Goniometrické a cyklometrické funkce: definiční obory, grafy, vlastnosti, příslušné inverzní funkce. Testování vlastností složených funkcí (parita, ohraničenost, monotonie, prostost). Výpočet funkce inverzní. Parametricky a implicitně zadané funkce.
3. Písemná práce (definiční obor, funkce, inverzní funkce). Výpočet limit (dosazením, pomocí pravidel, vykrácením nebo rozšířením). Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech, pravidla pro počítání s nevlastními body. Výpočet limit substitucí ze vzorců. Spojitost (určení pomocí limit).
4. Derivace funkce: pravidla pro derivování, derivace elementárních funkcí. Derivace vyšších řádů. Výpočet tečny ke grafu funkce.
5. Aplikace derivací: L'Hospitalovo pravidlo. Taylorův polynom.
6. Písemná práce (derivace funkce, užití). Extremální úlohy. Diferenciál funkce.
7. Použití derivací k zjišťování průběhu funkcí: monotónnost, lokální extrémy, zakřivení (konvexnost, konkávnost a inflexní body) Asymptoty funkce. Sestrojení grafu funkce.
8. Operace s vektory, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost. Báze a dimenze vektorového prostoru.
9. Operace s maticemi. Elementární řádkové úpravy. Hodnost matice.
10. Determinanty. Inverzní matice.
11. Soustavy lineárních rovnic: Gaussova eliminační metoda a Frobeniova věta.
12. Písemná práce (výpočet determinantu, hodnost matice, řešení soustavy, inverzní matice). Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů). Rovnice přímky a roviny v prostoru.
13. Vzájemná poloha lineárních útvarů, odchylka a vzdálenost.
14. Rezerva, zápočty.
Podmínky absolvování předmětu
Podmínky absolvování jsou definovány pouze pro konkrétní verzi předmětu a formu studia
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky
Předmět neobsahuje žádné hodnocení.