714-0441/01 – Geometrie (G)

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními vlastnostmi afinních a euklidovských prostorů, s afinním, shodným a podobným zobrazením v těchto prostorech.

Vektorové prostory. Orientace, unitární prostory nad R. Ortogonální a vnější součin, ortogonální transformace. Afinní prostory. Afinní soustava souřadnic, vzájemná poloha afinních podprostorů. Lineární soustavy nadrovin. afinní zobrazení, klasifikace afinit v prostorech dimenze 2 a 3. Euklidovské prostory. Kartézská soustava souřadnic, ortogonalita. Metrické vlastnosti. Shodné zobrazení. Klasifikace shodností v dimenzích 1 a 2. Podobnosti.

Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL Praha, 1983, ISBN 04-005-83.

Podmínky pro udělení zápočtu ze cvičení předmětu GEOMETRIE Povinné podmínky: 1. Alespoň 80% účast na cvičeních. 2. Vypracování projektů: I. Příklady částečně rovnoběžných podprostorů Afinního prostoru dimenze n≥4. II. Příklady výpočtu vzdáleností částečně rovnoběžných a mimoběžných podprostorů Afinního prostoru dimenze n≥4. 3. Za splnění těchto podmínek získá student 9 bodů. Doplňkové podmínky: 4. Vypracování tří písemných zkoušek, z nichž bude každá hodnocena 0-7 body. K udělení zápočtu musí student získat alespoň 10 bodů. Podmínky pro vykonání zkoušky z předmětu GEOMETRIE 1. Zkoušky se může zúčastnit student, který získal zápočet. 2. Zkouška se skládá z části písemné ( 0 – 40 bodů ) a ústní ( 0 – 30 bodů ). V obou částech zkoušky musí být student úspěšný, tj. získat v písemné části alespoň 15 bodů a v ústní části alespoň 10 bodů. 3. Hodnocení zkoušky je součtem bodů získaných za zápočet a písemnou a ústní část zkoušky. 4. Hodnocení: 5 -50 bodů nevyhověl(a) 51 -65 bodů dobře 66 – 85 bodů velmi dobře 86 – 100 bodů výborně Soubor otázek 1. Definice afinního prostoru, afinní soustava souřadnic. Aritmetický afinní prostor, lineárně nezávislé body, transformace afinních souřadnic, dělící poměr bodů. 2. Podprostory afinního prostoru, analytické vyjádření podprostorů. Symbolická rovnice, parametrické a obecné rovnice afinních podprostorů, vlastnosti zaměření podprostoru. 3. Vzájemná poloha podprostorů afinního prostoru, lineární soustavy nadrovin. Průsek a spojení prostorů, stupeň rovnoběžnosti, klasifikace vzájemné polohy podprostorů, svazky a trsy nadrovin. 4. Definice afinního zobrazení, afinní zobrazení afinního prostoru. Určenost afinního zobrazení, analytické vyjádření, modul, samodružné body a samodružné množiny afinního zobrazení, skládání afinit, grupa afinit. 5. Klasifikace afinit afinního prostoru An. Samodružné ( invariantní ) směry, translace, homotetie, Mongeova grupa, nadrovinové afinity, rozklad afinit na nadrovinové afinity. 6. Klasifikace afinit v afinní rovině. 7. Definice euklidovského prostoru, kartézská soustava souřadnic. Metrický prostor, vzdálenost bodů, reálný aritmetický euklidovský prostor, transformace kartézských souřadnic. 8. Kolmost a vzdálenosti v euklidovském prostoru. Kolmost podprostorů, vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost bodu od nadroviny, vzdálenost rovnoběžných a mimoběžných podprostorů. 9. Odchylky v euklidovském prostoru. Odchylka přímek, odchylka přímky od nadroviny, odchylka podprostoru od nadroviny. 10. Definice shodného zobrazení, shodné zobrazení euklidovského prostoru. Určenost shodného zobrazení, analytické vyjádření, modul, grupa shodností. 11. Souměrnosti v euklidovském prostoru, klasifikace shodností v rovině. Nadrovinová souměrnost, analytické vyjádření nadrovinové souměrnosti, klasifikace shodností v rovině. 12. Definice podobného zobrazení v euklidovském prostoru, podobné transformace. Určenost podobného zobrazení, analytické vyjádření, grupa podobností, podobnosti v rovině.