714-0552/08 – Numerické metody a statistika (NMaS)

Cílem předmětu je seznámit posluchače s numerickým řešením matematických úloh, s nimiž se mohou setkat v jiných předmětech studia a v praxi. Hlavní důraz je položen na vysvětlení podstaty jednotlivých numerických metod a jejich obecných vlastností, což by mělo umožnit rozhodnout o použitelnosti numerických postupů při řešení konkrétních úloh. Důležitou součástí výkladu je také algoritmická implementace a seznámení se s využitím existujících programů určených pro numerické výpočty.

Problematika numerických výpočtů: Zdroje a typy chyb, podmíněnost úlohy, numerická stabilita algoritmu. Řešení rovnice f(x)=0: Separace kořenů, metoda půlení intervalu, metoda regula - falsi, Newtonova metoda, iterační metoda. Podmínky konvergence. Řešení soustav lineárních rovnic: LU rozklad, iterační metody, podmínky konvergence, číslo podmíněnosti matice, špatně podmíněné matice. Řešení soustav nelineárních rovnic: Prostá iterační metoda, Newtonova metoda, podmínky konvergence. Interpolace a aproximace funkcí: Polynomiální interpolace, interpolace pomocí spline funkcí, aproximace metodou nejmenších čtverců. Numerická kvadratura: Lichoběžníková a Simpsonova metoda, Richardsonova extrapolace. Zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty: Určení empirických charakteristik statistického souboru s jedním a více argumenty. Odhady parametrů a testování hypotéz. Regresní analýza.

1. Boháč,Z., Častová,N.: Základní numerické metody. Skriptum VŠB, Ostrava 1997. 2. Pavelka,L.,Doležalová,J.: Pravděpodobnost a statistika. Skriptum VŠB, Ostrava 1997. 3. Ralston,A.: Základy numerické matematiky. Academia, Praha, 1973. 4. Vitásek,E.: Numerické metody.SNTL, Praha 1987. 5. Hebák,P., Hustopecký,J.: Vícerozměrné statistické metody s aplikacemi. SNTL, Alfa, Praha 1978.

Požadavky pro udělení zápočtu a zkoušky ======================================= Cvičení ------- Podmínky pro udělení zápočtu : - účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit - absolvování 3 písemných testů (0 - 15 b.) - odevzdáná 2 programů (5 b.) Za splnění podmínek získá student 5 b. Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 - 20 b. Zkouška ------- - písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 b. - ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 b. Otázky ke zkoušce ================= 1. Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace? 2. Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací? 3. Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy? 4. Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu? 5. Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic. 6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 7. Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 8. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium. 9. Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci. 10. Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě. 11. Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce. 12. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost. 13. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí. 14. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu. 15. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet? 16. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet. 17. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod. 18. Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. 19. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení. 20. Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti. 21. Interpolační splajny. (poslední přednáška) 22. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení. 23. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 24. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel? 25. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace. 26. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců. 27. Zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty. 28. Určení empirických charakteristik statistického souboru. 29. Odhady parametrů a testování hypotéz. 30. Regresní analýza.