714-0781/01 – Numerické metody a statistika (NMS)
Garantující katedra | Katedra matematiky a deskriptivní geometrie | Kredity | 6 |
Garant předmětu | prof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D. | Garant verze předmětu | prof. RNDr. Radek Kučera, Ph.D. |
Úroveň studia | pregraduální nebo graduální | Povinnost | povinný |
Ročník | 2 | Semestr | letní |
| | Jazyk výuky | čeština |
Rok zavedení | 2006/2007 | Rok zrušení | 2013/2014 |
Určeno pro fakulty | USP | Určeno pro typy studia | bakalářské |
Cíle předmětu vyjádřené dosaženými dovednostmi a kompetencemi
Cílem předmětu je seznámit posluchače s numerickým řešením matematických úloh a se základními metodami statistické analýzy dat. Hlavní důraz je kladen na vysvětlení podstaty jednotlivých metod, což by mělo umožnit rozhodnout o jejich použitelnosti při řešení konkrétních úloh, s nimiž se mohou setkat posluchači v jiných předmětech studia a v praxi. Důležitou součástí výkladu je algoritmická implementace metod a využití existujících programů určených pro numerické výpočty a statistickou analýzu dat.
Absolvent tohoto předmětu by měl dokázat:
• rozeznat úlohy, které lze řešit numerickými postupy, a umět vybrat vhodnou numerickou metodu řešení;
• posoudit, zda vypočítané řešení je dostatečně přesné, případně určit příčiny, které neumožňují dosáhnout dané přesnosti;
• volit a využít vhodné statistické metody pro analýzu dat;
• navrhnout algoritmický postup řešení úlohy a vybrat vhodný programovací prostředek.
Vyučovací metody
Přednášky
Individuální konzultace
Cvičení (v učebně)
Ostatní aktivity
Anotace
V rámci přednášek a cvičení budou probrány základní numerické metody
matematické analýzy a lineární algebry a některé statistické metody. Z oblasti
metod matematické analýzy se jedná zejména o řešení nelineárních rovnic a
jejich soustav, interpolaci a aproximaci dat, numerický výpočet integrálu,
numerické derivování a řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální
rovnice a jejich soustavy. Mezi probírané metody lineární algebry patří přímé a
iterační metody řešení soustav lineárních rovnic, efektivní výpočty inverzních
matic a determinantů a některé metody pro výpočet vlastních čísel a vlastních
vektorů. Pozornost je věnována také posouzení vlivu chyb, které mohou podstatně
ovlivnit výsledky numerických výpočtů. Z oblasti statistiky bude ukázáno
zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty, odhady parametrů a
testování hypotéz.
Povinná literatura:
1. Kučera, R.: Numerické metody, Skriptum VŠB-TU Ostrava, 2007. (na http://mdg.vsb.cz/M/)
2. Otipka, P., Šmajstrla, V.: Pravděpodobnost a statistika. Skriptum VŠB-TU Ostrava, 2007. (na http://mdg.vsb.cz/M/)
3. Qaurteroni, A., Sacco, R., Saleri, F.: Numerical Mathematics. Springer, 2007.
Doporučená literatura:
1. Kubíček, M., Dubcová, M., Janovská, D.: Numerické metody a algoritmy. 2. vyd., VŠCHT Praha 2005.
2. Dalík, J.: Matematika. Numerické metody. Skriptum VUT, Brno 1992.
3. Vitásek, E.: Numerické metody. SNTL, Praha 1987.
Forma způsobu ověření studijních výsledků a další požadavky na studenta
Požadavky pro udělení zápočtu a zkoušky
=======================================
Cvičení
-------
Podmínky pro udělení zápočtu :
- účast ve cvičení, 20 % neúčasti lze omluvit
- absolvování 3 písemných testů (0 - 15 b.)
- odevzdáná 2 programů (5 b.)
Za splnění podmínek získá student 5 b.
Student, který získá zápočet, bude hodnocen 5 - 20 b.
Zkouška
-------
- písemná část zkoušky bude hodnocena 0 - 60 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 25 b.
- ústní část zkoušky bude hodnocena 0 - 20 b, za její úspěšné absolvování bude považován zisk 5 b.
Otázky ke zkoušce
=================
1. Uveďte příklady diskrétní a spojité úlohy. Co je to řád diskretizace?
2. Jak se definují chyba absolutní, relativní a jejích odhady? Jak se chyby přenášejí při provádění aritmetických operací?
3. Čím je charakteristický stabilní a nestabilní výpočet? Co vyjadřuje číslo podmíněnosti úlohy?
4. Odvoďte počítačové epsilon. Jakou má přibližně hodnotu?
5. Uveďte postupy separace kořenů u nelineárních rovnic.
6. Metoda půlení intervalu: vzorec, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium.
7. Metoda regula falsi: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium.
8. Newtonova metoda: odvození vzorce, vysvětlit postup výpočtu na obrázku, ukončovací kritérium.
9. Odvození řádu Newtonovy metody pomocí Taylorova rozvoje, věta o globální konvergenci.
10. Metoda prosté iterace, Browerova věta o pevném bodě.
11. Analýza konvergence metody prosté iterace pomocí kontrakce.
12. Gaussova eliminační metoda, její fáze a pracnost.
13. LU-rozklad, bez permutační matice, s permutační maticí.
14. Použití LU-rozkladu při řešení lineárních soustav, k výpočtu inverzní matice a determinantu.
15. Maticové normy a číslo podmíněnosti matice. Věta o řešení porušené soustavy lineárních rovnic. Příklad špatně podmíněné matice. Jak ovlivňuje špatná podmíněnost výpočet?
16. Vlastní čísla a vlastní vektory matic. Definice a výpočet.
17. Iterační metody pro řešení soustav lineárních rovnic, Jacobiova a Gauss-Seidelova. Maticový zápis metod.
18. Konvergence obecné iterační metody, odvození podmínek. (poslední přednáška)
19. Interpolační polynomy. Vysvětlete tři způsoby sestavení. Věta o existenci jediného řešení.
20. Chyba při interpolaci polynomem. Uveďte příklad, kdy má interpolační polynom špatné aproximační vlastnosti.
21. Interpolační splajny. (poslední přednáška)
22. Aproximace metodou nejmenších čtverců. Odvození normální soustavy lineárních rovnic. Věta o existenci jediného řešení.
23. Odvození jednoduchých a složených Newton-Cotesových vzorců pro numerický výpočet integrálu. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců.
24. Jak se odvodí chyba při numerické integraci u jednoduchých a složených integračních pravidel?
25. Výpočet integrálu se zadanou přesností: dvojný přepočet, Richardsonova extrapolace.
26. Odvození vzorců numerické derivace. Nakreslete obrázky vysvětlující smysl vzorců.
27. Formulace Cauchyovy úlohy. Kdy existuje řešení? Vysvětlete pomocí obrázku jak vypadá výpočet přibližného řešení pomocí u Eulerovy metody.
28. Jednokrokové metody.Co je lokální a globální chyba a jaký mají vztah k řádu metody?
29. Vícekrokové metody. V čem je jejich přínos oproti metodám jednokrokovým? Příklady explicitních a implicitních vzorců.
30. Sestavte algoritmus prediktor-korektor.
31. Zpracování statistického souboru s jedním a více argumenty.
32. Určení empirických charakteristik statistického souboru.
33. Odhady parametrů a testování hypotéz.
34. Regresní analýza.
E-learning
Další požadavky na studenta
Nejsou další požadavky na studenta.
Prerekvizity
Předmět nemá žádné prerekvizity.
Korekvizity
Předmět nemá žádné korekvizity.
Osnova předmětu
Týden. Náplň přednášek a cvičení
--------------------------------
1. Obsah předmětu, problematika chyb, podmíněnost a stabilita výpočtů.
2. Řešení nelineárních rovnic, separace kořenů, nejjednodušší metody.
3. Newtonova metoda a metoda prosté iterace.
4. Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminace a LU-rozklad.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, jejich numerický výpočet.
6. Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic.
7. Interpolace pomocí polynomů.
8. Interpolace pomocí splajnů. Aproximace metodou nejmenších čtverců.
9. Numerické derivování a integrování, základní vzorce.
10. Extrapolace při výpočtu integrálu. Gaussovy integrační vzorce.
11. Jednokrokové metody pro řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
12. Vícekrokové metody.
13. Statistický souboru s jedním a více argumenty, určení empirických charakteristik.
14. Odhady parametrů a testování hypotéz.
Podmínky absolvování předmětu
Výskyt ve studijních plánech
Výskyt ve speciálních blocích
Hodnocení Výuky